Question

已知動圓P過定點F（0，1），且與定直線y=-1相切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l與軌跡W相交于A，B兩點，若在直線y=-1上存在點C，使△ABC為正三角形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設動圓圓心P（x，y），根據題意：點P（x，y）到點F（0，1）距離等于點P到定直線y=-1的距離，由此能求了動圓圓心P的軌跡W的方程．
（Ⅱ）設過點F的直線l的方程為y-1=kx，即y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．如果k=0，推導出|AB|+4，而|AC|==2，不符題意；如果k≠0，弦AB中點M（x，y）．則，得：x²-4kx-4=0，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心P（x，y），
根據題意：點P（x，y）到點F（0，1）距離等于點P到定直線y=-1的距離，
即，（3分）
 故：動圓圓心P的軌跡W的方程為x²=4y．（5分）
（Ⅱ）顯然，直線的斜率k存在，
設過點F的直線l的方程為y-1=kx，即y=kx+1，（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①如果k=0，，得A（-2，1），B（2，1），
故有|AB|+4，而|AC|==2，不符題意，所以k≠0．（7分）
②如果k≠0，弦AB中點M（x，y）．則，得：x²-4kx-4=0，
所以有：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，（9分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
x==2k，y==2k²+1，（11分），
即M（2k，2k²+1），
若在直線y=-1上存在點C，使△ABC為正三角形，
則設直線MC：y-（2k²+1）=-（x-2k）與y=-1聯立，
解得x=4k+2k³，也就是C（4k+2k³，-1），
由，得=，（14分）
即k=，所以，直線l的方程為y=+1．（15分）
點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．