Question

已知函數f（x）=x-

1

2

ax2-ln（1+x），其中a∈R
（I）若x=2是f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）令f'（2）=0，解得a，再驗證是否符合函數取得極值的充分條件即可；
（II）對a分類討論，利用導數與函數單調性的關系即可得出．

解答：解：（I）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，x∈（-1，+∞）
依題意，令f'（2）=0，解得a=

1

3

，
經檢驗，當a=

1

3

時，x=2是f（x）的極值點．
∴a=

1

3

（II）①當a=0時，f′(x)=

x

x+1

故f（x）的單調增區間是（0，+∞）；單調減區間是（-1，0）．
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1
當0＜a＜1時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	+
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調增區間是（0，

1

a

-1）；單調增區間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）．
當a=1時，f（x）的單調減區間是（-1，+∞）
當a＞1時，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1+∞）
f'（x）	-	0	+	0	+
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調增區間是（

1

a

-1，0）；單調減區間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
③當a＜0時，f（x）的單調增區間是（0，+∞）；單調減區間是（-1，0）．
綜上，當a≤0時，f（x）的增區間是（0，+∞），減區間是（-1，0）；
當0＜a＜1時，f（x）的增區間是（0，

1

a

-1），減區間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）；
當a=1時，f（x）的減區間是（-1，+∞）；
當a＞1時，f（x）的增區間是（

1

a

-1，0）；減區間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．