Question

（2012•武昌區(qū)模擬）如圖，DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|DM|=2|DP|．當(dāng)點(diǎn)P在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
（I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)T（0，t）作圓x²+y²=1的切線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|DM|=2|DP|，找出x₀與x的關(guān)系及y₀與y的關(guān)系，記作①，根據(jù)P在圓上，將P的坐標(biāo)代入圓的方程，記作②，將①代入②，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）由過(guò)點(diǎn)T（0，t）作圓x²+y²=1的切線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，得到|t|大于等于圓的半徑1，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)t=1時(shí)，確定出切線(xiàn)l為x=1，將x=1代入M得軌跡方程中，求出A和B的坐標(biāo)，確定出此時(shí)|AB|的長(zhǎng)，當(dāng)t=-1時(shí)，同理得到|AB|的長(zhǎng)；（ii）當(dāng)|t|大于1時(shí)，設(shè)切線(xiàn)l方程為y=kx+t，將切線(xiàn)l的方程與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A和B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和與之積，再由切線(xiàn)l與圓相切，得到圓心到切線(xiàn)的距離d=r，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到k與t的關(guān)系式，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|，將表示出的兩根之和與兩根之積，以及k與t的關(guān)系式代入，得到關(guān)于t的關(guān)系，利用基本不等式變形，得到|AB|的最大值，以及此時(shí)t的取值，而三角形AOB的面積等于AB與半徑r乘積的一半來(lái)求，表示出三角形AOB的面積，將|AB|的最大值代入求出三角形AOB面積的最大值，以及此時(shí)T的坐標(biāo)即可．

解答：（本小題滿(mǎn)分13分）
解：（I）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則x=x₀，y=2y₀，所以x₀=x，y₀=

y

2

，①
因?yàn)镻（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上，所以x₀²+y₀²=1②，
將①代入②，得點(diǎn)M的軌跡方程C的方程為x²+

y2

4

=1；…（5分）
（Ⅱ）由題意知，|t|≥1，
（i）當(dāng)t=1時(shí)，切線(xiàn)l的方程為y=1，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-

3

2

，1），（

3

2

，1），
此時(shí)|AB|=

3

，當(dāng)t=-1時(shí)，同理可得|AB|=

3

；
（ii）當(dāng)|t|＞1時(shí)，設(shè)切線(xiàn)l的方程為y=kx+t，k∈R，
由

y=kx+t x2+ y 2   4 =1

，
得（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0③，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由③得：x₁+x₂=-

2kt

4+k2

，x₁x₂=

t2-4

4+k2

，
又直線(xiàn)l與圓x²+y²=1相切，得

|t|

k 2   +1

=1，即t²=k²+1，
∴|AB|=

(x2-x1) 2   + (y2-y1) 2

=

(1+ k 2   )[ 4k2t2 (4+k2)2 - 4(t2-4) 4+k2 ]

=

4 3 |t|

t 2   +3

，
又|AB|=

4 3 |t|

t 2   +3

=

4 3

|t|+ 3 |t|

≤2，且當(dāng)t=±

3

時(shí)，|AB|=2，
綜上，|AB|的最大值為2，
依題意，圓心O到直線(xiàn)AB的距離為圓x²+y²=1的半徑，
∴△AOB面積S=

1

2

|AB|×1≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)t=±

3

時(shí)，△AOB面積S的最大值為1，相應(yīng)的T的坐標(biāo)為（0，-

3

）或（0，

3

）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，涉及的知識(shí)有：直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，以及直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．