Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若線段AB的中點到拋物線C準線的距離為4，則p的值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點差法得到

y1-y2

x1-x2

•（y₁+y₂）=2p，因為過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，所以

y1-y2

x1-x2

=1，AB方程為：y=x-

p

2

，故y₁+y₂=2p，AB中點橫坐標為

3p

2

，再由線段AB的中點到拋物線C準線的距離為4，能求出p．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y12=2px1，① y22=2px2，②

①-②，得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
∴

y1-y2

x1-x2

•（y₁+y₂）=2p，
∵過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，
∴

y1-y2

x1-x2

=1，AB方程為：y=x-

p

2

，
∵

y1+y2

2

為AB中點縱坐標，
∴y₁+y₂=2p，
∵y1=x1-

p

2

，y2=x2-

p

2

，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-p，
∴x₁+x₂=y₁+y₂+p，
∵

x1+x2

2

=

(y1+y2+p)

2

=

3p

2

，
∴AB中點橫坐標為

3p

2

，
∵線段AB的中點到拋物線C準線的距離為4，
∴

p

2

+

3p

2

=4，解得p=2．
故選B．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．