Question

如果a，b都是正數，且a≠b，求證：

a2

b

+

b2

a

＞a+b．

Answer 1

分析：

a2

b

+

b2

a

-(a+b)=

a3+b3-a2b-ab2

ab

=

a2(a-b)-b2(a-b)

ab

=

(a2-b2)(a-b)

ab

=

(a+b)(a-b)2

ab

，由此入手能夠證明

a2

b

+

b2

a

＞a+b．

解答：證明：

a2

b

+

b2

a

-(a+b)=

a3+b3-a2b-ab2

ab

=

a2(a-b)-b2(a-b)

ab

=

(a2-b2)(a-b)

ab

=

(a+b)(a-b)2

ab

．
∵a、b都是正數，
∴a+b＞0，ab＞0，
又由a≠b，
可知（a-b）²＞0，
故

(a+b)(a-b)2

ab

＞0，
即

a2

b

+

b2

a

-(a+b)＞0，
∴

a2

b

+

b2

a

＞a+b．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要注意做差法在不等式證明中的合理運用．