Question

已知函數的圖象關于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并根據定義證明．

Answer 1

解：（1）∵函數的圖象關于原點對稱
∴函數為奇函數，滿足f（-x）+f（x）=0，即+=0對定義域內任意x都成立，
即=log_a1，=1對定義域內任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，經檢驗m=1不符合題意舍去，所以m的值為-1；
（2）當0＜a＜1時，f（x）是（1，+∞）的增函數；當a＞1時，f（x）是（1，+∞）的減函數，證明如下
由（1）得，（x＞1）
設t=，再令1＜x₁＜x₂，則t₁=，t₂=，
可得t₁-t₂=-=＞0，有t₁＞t₂，
∴函數t=是（1，+∞）上的減函數．
根據復合函數單調性法則，得：當0＜a＜1時，f（x）是（1，+∞）的增函數；
當a＞1時，f（x）是（1，+∞）的減函數．
分析：（1）由題意得，f（x）是奇函數，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比較系數法，可得m=-1；
（2）令對數的真數為t，利用單調性的定義可以證出t（x）在區間（1，+∞）上是減函數，再用復合函數單調性可得原函數在區間（1，+∞）上的單調性．
點評：本題給出真數為分式對數型函數，并研究它的單調性與奇偶性，著重考查了基本初等函數的單調性和奇偶性等常見性質，屬于基礎題．