Question

定義在定義域D內的函數y=f（x），若對任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數y=f（x）為“媽祖函數”，否則稱“非媽祖函數”。試問函數，f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）是否為“媽祖函數”？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由。

Answer 1

解：因為，
函數的導數是，
當3x²-1=0即x=±，
當0<x<時，f′（x）=3x²1<0，
當x>時，f′（x）=3x²1>0，
故f（x）在[0，1]內的極小值是；
同理f（x）在[-1，0]內的極大值是；
因為f（1）=f（-1）=a，
所以函數的最小值是，最大值是，
故，
所以函數是“媽祖函數”。