Question

已知函數f（x）=x²+px+q，不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜5}
（1）求實數p，q的值；
（2）若當2≤x≤5時，f（x）＜x+m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若實數m＞0，解關于x的不等式f（x）＜mx²-6x+m+11．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數f（x）=x²+px+q，當f（x）＜0時，有2＜x＜5，可得2，5是方程x²+px+q=0的兩根，利用韋達定理可求p和q的值；
（2）函數在區間上恒成立問題，要轉化為函數在給定區間上的最值問題，通過求解函數的最值，列出關于實數m的不等式，達到求解該題的目的．
（3）因為最高次冪位置有參數m，故需要分類討論，利用不等式對應的二次函數圖象和性質解決．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=x²+px+q，當f（x）＜0時，有2＜x＜5．
∴2，5是方程x²+px+q=0的兩根
∴

-p=2+5 q=2×5

∴p=-7，q=10；
（2）由題意知，m＞x²-8x+10在[2，5]上恒成立，
又x²-8x+10=（x-4）²-6，當x=4時有最大值-2，
所以m＞-2．
（3）即解不等式（m-1）x²+x+m+1＞0，m＞0，
①當m=1時，x＞-2；
②當0＜m＜1時，△＞0，

-1+ 5-4m2

2(m-1)

＜x＜

-1- 5-4m2

2(m-1)

；
③當1＜m＜

5

2

時，△＞0，x＜

-1- 5-4m2

2(m-1)

 或x＞

-1+ 5-4m2

2(m-1)

；
④當m=

5

2

時，△=0，x≠

-1

2(m-1)

；
⑤當m＞

5

2

時，△＜0，x∈R．

點評：本題重點考查解不等式，考查不等式的解集與方程解之間的關系，考查函數恒成立問題的解決思路和方法，考查函數與不等式的綜合問題，考查學生的轉化與化歸的思想和方法、解不等式的思想．