Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：假設直線l存在，設l的方程為y=x+m.

由

得2x²+2(m+1)x+m²+4m-4=0.      （*）

設A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，則x₁+x₂=-(m+1)，x₁x₂=.

∵以AB為直徑的圓為（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0,

若它經過原點，則x₁x₂+y₁y₂=0.又y₁y₂

=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²,

∴2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=0.

∴m²+3m-4=0,m=-4或m=1.

當m=-4或m=1時，（*）式的Δ＞0,

∴所求直線l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.