Question

如圖，將一塊直角三角形板ABO放置于平面直角坐標系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．點P（1，）是三角板內一點，現因三角板中陰影部分（即△POB）受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN，設直線MN的斜率k．
（Ⅰ）試用k表示△AMN的面積S，并指出k的取值范圍；
（Ⅱ）試求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，先求直線MN，OA的方程，可解得 ，．且 ，
從而可求 ，．進而可求△AMN的面積S．
（Ⅱ）求導函數，可知S=f（k）在上是減函數，從而可求S取得最大值．
解答：解：（Ⅰ）根據題意可得，MN：，OA：y=x，
解得 ，．且 ，
于是 ，．
所以 ．
故，．
（Ⅱ），
因為當時，S'≤0，
故S=f（k）在上是減函數．
所以當時，S取得最大值．
點評：本題考查的重點是函數模型的構建，考查導數知識的運用，解題的關鍵是利用三角形的面積公式，構建函數關系式．