Question

已知函數(shù)f(t)=log2t，t∈[

2

，8]
（1）求f（t）的值域G
（2）若對(duì)G內(nèi)的所有實(shí)數(shù)x，不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(t)=log2t，t∈[

2

，8]的單調(diào)性可求其值域G；
（2）x∈G=[

1

2

，3]，不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立可轉(zhuǎn)化為x²-2mx+m²-2m+1≥0恒成立（x∈[

1

2

，3]），令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1，其對(duì)稱軸x=m，分區(qū)間在對(duì)稱軸左側(cè)（包括邊界），右側(cè)（包括邊界），對(duì)稱軸穿過(guò)[

1

2

，3]，三種情況利用函數(shù)的單調(diào)性及最值討論解決．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(t)=log2t，t∈[

2

，8]，
∴

1

2

≤ f(t)  ≤3即G=[

1

2

，3]，
（2）-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立?x²-2mx+m²-2m+1≥0恒成立，
令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1
當(dāng)m≤

1

2

時(shí)   

m≤ 1 2 g( 1 2 )≥0

∴m≤

1

2

當(dāng)

1

2

＜m＜3時(shí)  

1 2 ＜m＜3 g(m)≥0

∴m無(wú)解
當(dāng)m≥3時(shí)   

m≥3 g(3)≥0

∴m≥4+

6

綜上：m≤

1

2

或m≥4+

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是明確其對(duì)稱軸在給定區(qū)間的什么位置，借助其單調(diào)性解決，屬于中檔題．