Question

已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f（P）．設P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一個圓，使所有的點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點P_n（x_n，y_n）的一個收斂圓．特別地，當P₁=f（P₁）時，則稱點P₁為映射f下的不動點．若點P（x，y）在映射f下的象為點．
（Ⅰ）求映射f下不動點的坐標；
（Ⅱ）若P₁的坐標為（2，2），求證：點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一個半徑為2的收斂圓．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設不動點的坐標為P（x，y），依據對應關系及不動點的定義，解方程組，可得不動點的坐標．
（Ⅱ）由P_n+1=f（P_n），得，構造兩個等比數列N^*）和{y_n}，
寫出它們的通項公式，設，計算P_n到A的距離，可得此距離小于2，故所有的點P_n（n∈N^*）都在以為圓心，2為半徑的圓內．
解答：（Ⅰ）解：設不動點的坐標為P（x，y），
由題意，得，解得，
所以此映射f下不動點為．

（Ⅱ）證明：由P_n+1=f（P_n），得，
所以，
因為x₁=2，y₁=2，
所以，
所以，
由等比數列定義，得數列N^*）是公比為-1，首項為的等比數列，
所以，則．
同理．
所以．
設，則，
因為，
所以，
所以．
故所有的點P_n（n∈N^*）都在以為圓心，2為半徑的圓內，
即點P_n（x_n，y_n）存在一個半徑為2的收斂圓．
點評：本題考查映射的定義，構造等比數列并求通項公式，兩點間的距離公式的應用．