Question

已知：有窮數列{a_n}共有2k項（整數k≥2 ），a₁=2，設該數列的前n項和為S_n且滿足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a＞1．
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）設b_n=log₂a_n，求{b_n}的前n項和T_n．
（3）設c_n=，若a=2，求滿足不等式≥時k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，2k-1），知S_n=aS_n-1+2（n=2，3，k），由此得a_n+1=a•a_n，從而能求出{a_n}的通項公式．
（2）由b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂=log₂a（n=2，3，2k），知{b_n}是以b₁=1為首項，以log₂a（a＞1）為公差的等差數列，由此能求出T_n．
（3）c_n==1+=1+（n=1，2，2k），當c_n≤時，n≤k+，n為正整數，知n≤k時，c_n＜．當n≥k+1時，11k²-72k+3≥0，由此解得滿足條件的k的最小值為6．
解答：解：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，2k-1）（1）
S_n=aS_n-1+2（n=2，3，k）（2）
（1）-（2）得a_n+1=a•a_n（n=2，3，2k-1）
由（1）式S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2
解得a₂=2a，因為
所以{a_n}是以2為首項，a為公比的等比數列，a_n=2•a^n-1（n=1，2，2k）
（2）∵b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂=log₂a（n=2，3，2k）
∴{b_n}是以b₁=1為首項，以log₂a（a＞1）為公差的等差數列
∴T_n==
=n+（a＞1，n=1，2，2k）
（3）c_n==1+=1+（n=1，2，2k）
當c_n≤時，n≤k+，n為正整數，知n≤k時，c_n＜
當n≥k+1時，c_n＞
=（-c₁）+（-c₂）++（-c_k）+（c_k+1-）++（c_2k-）
=（c_k+1+c_k+2++c_2k）-（c₁+c₂++c_k）
={[k+（k+1）++（2k-1）]+2k}-{[1+2++（k-1）]+k}
=[-]
=≥
即11k²-72k+3≥0，（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤
所以滿足條件的k的最小值為6．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．