Question

設 P（x，y），Q（x′，y′） 是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的兩點，則下列四個結論：①a²+b²≥（x+y）²；②

1

x2

+

1

y2

≥(

1

a

+

1

b

)2；③

a2

x2

+

b2

y2

≥4；④

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．其中正確的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由于點在橢圓上，則點的坐標滿足橢圓的方程．
①用（

x2

a2

+

y2

b2

）（a²+b²）替換（a²+b²），
②用（

x2

a2

+

y2

b2

）（

1

x2

+

1

y2

）替換（

1

x2

+

1

y2

），再根據柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²可得；
③由橢圓的參數方程可求證；
④利用橢圓的有界性來做．

解答：解：由于 P（x，y）是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的點，則

x2

a2

+

y2

b2

=1，
①（a²+b²）=（a²+b²）(

x2

a2

+

y2

b2

)≥（x+y）²，故①正確；
②(

1

x2

+

1

y2

)(

x2

a2

+

y2

b2

)≥(

1

a

+

1

b

)2，故②也正確；
③由橢圓的參數方程知

a2

x2

+

b2

y2

=

1

sin2x

+

1

cos2x

=

1

sin2x•cos2x

=

4

sin22x

，顯然③也正確；
④由于Q（x′，y′） 是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的點．
依據橢圓的有界性知xx′≤a²，yy′≤b²，故

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1，故④也正確．
故答案選D．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，同時考查了不等式，我們可以根據不等式的性質對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．