Question

（2011•浙江模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且cos

A+B

2

=1-cosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若1+

tanA

tanB

=

2c

b

，且c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件利用誘導公式及二倍角公式求得sin

C

2

=

1

2

，由此求得角C的值．
（Ⅱ）由已知條件利用同角三角函數的基本關系和正弦定理求得cosA=

1

2

，可得A=60°，根據△ABC是等邊三角形，c=4，由S△ABC=

1

2

absinC求出結果．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

A+B

2

=1-cosC，∴sin

C

2

=2sin2

C

2

，∴sin

C

2

=

1

2

，或 sin

C

2

=0（舍去）．∴C=60°．
（Ⅱ）由1+

tanA

tanB

=

2c

b

得.

cosAsinB+sinAcosB

cosAsinB

=

2c

b

，即

sinC

cosAsinB

=

2c

b

．
又由正弦定理及上式，得cosA=

1

2

，∴A=60°．∴△ABC是等邊三角形，又c=4，
∴S△ABC=

1

2

absinC=4

3

．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系、正弦定理、誘導公式、二倍角公式，三角函數的化簡求值，屬于中檔題．