Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則當x∈[-4，4]時不等式x?f′（x）＜0的解集為（　　）

• A、（-2，0）∪（2，4）
• B、（-4，-2）∪（0，2）
• C、（-2，0）
• D、（0，2）

Answer 1

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的奇偶性周期性和單調(diào)性之間的關(guān)系得到函數(shù)f（x）的草圖，然后討論x的符號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答：解：由f（x-4）=-f（x）得f（x-8）=-f（x-4）=-[-f（x）]=f（x），
即函數(shù)的周期是8．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），
即函數(shù)關(guān)于

x-4-x

2

=-2對稱．
∴f（0）=0，f（-4）=-f（0）=0，f（4）=0．
∵在區(qū)間[0，2]上f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)，在[-4，-2]上是減函數(shù)．
作出函數(shù)的草圖如圖：
若x=0時，不等式x•f′（x）＜0不成立．
若x＞0，則不等式x•f′（x）＜0等價為f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由圖象可知，此時2＜x＜4．
若x＜0，則不等式x•f′（x）＜0等價為f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由圖象可知，此時-2＜x＜0，
故不等式x•f′（x）＜0的解集為（-2，0）∪（2，4）．
故選：A．

點評：本題主要考查函數(shù)周期性，奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．