Question

一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.

Answer 1

解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2).

則圓的方程為(x-a)²+(y-a-2)²=r².

因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上,

所以解得

所以所求的圓的方程為(x+)²+(y)²=.

解法二：由題意得圓的弦OP的斜率為3,中點坐標(biāo)為(,),

所以弦OP的垂直平分線方程為y=(x),即x+3y-5=0.

因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,

所以由解得,即圓心坐標(biāo)為C(,).

又因為圓的半徑r=|OC|==,

所以所求的圓的方程為(x+)²+(y)²=.

點評:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個量,要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法.要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用.