Question

（2012•深圳一模）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD=2AB=4，AD=

2

，E為CD的中點，將△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中點O在線段DE內．
（1）求證：CO⊥平面ABED；
（2）問∠CEO（記為θ）多大時，三棱錐C-AOE的體積最大？最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）通過證明BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE=E，利用在與平面垂直的判定定理證明CO⊥平面ABED；
（2）利用∠CEO=θ，表示三棱錐C-AOE的體積的表達式，利用二倍角的正弦函數，通過角的我求出表達式的最大值．

解答：解：（1）證明：在直角梯形ABCD中，
CD=2AB，E為CD的中點，
則AB=DE，又AB∥DE，
AD⊥AB，知BE⊥ED．…（1分）
在四棱錐C-ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE=E，
CE，DE?平面CDE，則BE⊥平面CDE．…（3分）
因為CO?平面CDE，所以BE⊥CO…（4分）
又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABDE內兩條相交直線，…（6分）
故CO⊥平面ABED．…（7分）
（2）解：由（1）知CO⊥平面ABED，
知三棱錐C-AOE的體積V=

1

3

S△AOE•OC=

1

3

×

1

2

×OE×AD×OC…（9分）
由直角梯形ABCD中，CD=2AB=4，AD=

2

，CE=2，
得三棱錐C-AOE中，
OE=CEcosθ=2cosθ，OC=CEsinθ=2sinθ…（10分）
V=

2

3

sin2θ≤

2

3

，…（11分）
當且僅當sin2θ=1，θ∈(0，

π

2

)，即θ=

π

4

時取等號，…（12分）
（此時OE=

2

＜DE，O落在線段DE內）．
故當θ=

π

4

時，三棱錐C-AOE的體積最大，最大值為

2

3

．…（13分）

點評：本題主要考察空間點、線、面位置關系，棱錐的體積及三角函數等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．