Question

（08年安徽信息交流）（本小題滿分14分）已知兩定點A（，0），B（3，0），動圓M與直線AB相切于點N．且=4，現分別過點A、B作動圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點P．

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）若直線截動點P的軌跡所得的弦長為5，求m的值；

（3）設過軌跡上的點P的直線與兩直線，分別交于點，，且點分有向線段所成的比為（＞0），當∈時，求的最小值與最大值。

Answer 1

解析:（1）由題設及平面幾何知識得：＜,

∵動點P的軌跡是以A、B為交點的雙曲線右支，

由

故所求P點的軌跡方程為：  （4分）

（2）易知 直線恒過雙曲線焦點B（3，0）

設該直線與雙曲線右支相交于

由雙曲線第二定義知，

又∴，則，

由得，從而易知，僅當時，滿足

故所求  （8分）

（3）設，且p分有向線段所成的比為，

則，，

又點在雙曲線上，∴

化簡得：

又 

∴                               （11分）

令

∵在上單減，在上單增，

又，∴在上單減，在上單增，∴

又 ，∴

故所求的最小值為9，最大值為。   （14分）