Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，且知當x=-1時取得極大值7，當x=3取得極小值，試求f（x）的極小值，并求a、b、c的值．

Answer 1

分析：先求導函數，根據當x=-1時，f（x）有極大值，當x=3時，f（x）有極小值，可知-1，3是方程f'（x）=0的根，從而可得到關于a，b的兩個等式，再根據極大值等于7，又得到一個關于a，b，c的等式，即可求出c的值．因為函數在x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數，求出的函數值即為函數的極小值．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，∴f'（x）=3x²+2ax+b．
∵當x=-1時，函數取得極大值，x=3時，函數取得極小值．
∴-1，3是方程f'（x）=0的根，即-1，3為方程3x²+2ax+b=0的兩根．
∴

-1+3=- 2a 3 (-1)×3= b 3

∴

a=-3 b=-9

，
∴f（x）=x³-3x²-9x+c．
∵當x=-1時取得極大值7，
∴（-1）³-3（-1）²-9（-1）+c=7，
∴c=2．
∴函數f（x）的極小值為f（3）=3³-3×3²-9×3+2=-25．

點評：本題以函數為載體，考查導數在求函數的極值中的應用．理解極值與導數的對應關系及極值的判斷規則是解題的關鍵．