Question

【題目】已知函數g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e為自然對數的底數．

（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．

①討論f（x）的單調性；

②若函數f（x）有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．

（2）已知a＞0，函數g（x）恰有兩個不同的極值點x1，x2，證明：．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②（0，1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）①對求導,分別討論與的情況即可；

②由①若有兩個不同的零點,則,由于當x→0時,f（x）→+∞；當x→+∞時,f（x）→+∞,則只需使得即可,進而求解；

（2）先對求導,由題可得,兩式相減可得,轉化為,設,即證,進而利用導函數判斷單調性證明即可.

（1）f（x）＝h（x）﹣g（x）＝ex﹣2x﹣lnx﹣ex+ax2+ax＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx（x＞0）,

①（x＞0）,

（i）當a≤0時,f′（x）＜0,函數f（x）在（0,+∞）上遞減；

（ii）當a＞0時,令f′（x）＞0,解得；令f′（x）＜0,解得,

∴函數f（x）在遞減,在遞增；

綜上,當a≤0時,函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

當a＞0時,函數f（x）在上單調遞減,在上單調遞增

②由①知,若a≤0,函數f（x）在（0,+∞）上單調遞減,不可能有兩個不同的零點,故a＞0；

且當x→0時,f（x）→+∞；當x→+∞時,f（x）→+∞；

故要使函數f（x）有兩個不同的零點,只需,即,

又函數在（0,+∞）上為增函數,且,故的解集為（0,1）,

故實數a的取值范圍為（0,1）

（2）證明: g′（x）＝ex﹣2ax﹣a,依題意,則,兩式相減得,,

因為a＞0,要證,即證,即證，

兩邊同除以,即證,

令t＝x1﹣x2（t＜0）,即證,

令,則,

令,則,

當t＜0時,p′（t）＜0,所以p（t）在（﹣∞,0）上遞減,

∴p（t）＞p（0）＝0,

∴h′（t）＜0,

∴h（t）在（﹣∞,0）上遞減,

∴h（t）＞h（0）＝0,即,

故.