Question

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”.過橢圓第四象限內一點M作x軸的垂線交其“輔助圓”于點N，當點N在點M的下方時，稱點N為點M的“下輔助點”.已知橢圓E：上的點的下輔助點為（1，﹣1）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若△OMN的面積等于，求下輔助點N的坐標；

（3）已知直線l：x﹣my﹣t＝0與橢圓E交于不同的A，B兩點，若橢圓E上存在點P，滿足，求直線l與坐標軸圍成的三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）直接根據定義先求得a，進而得到b即可；

（2）設點N（x0，y0）（y0＜1），則點M（x0，y1）（y1＜0），根據橢圓方程以及面積可得x0y1，將其與聯立得到N坐標；

（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，結合韋達定理得，因為且P在橢圓上可得4t2＝m2+2，表示出三角形面積結合基本不等式即可求其最小值.

解：（1）∵橢圓上的點（1，）的下輔助點為（1，﹣1），

∴輔助圓的半徑為R，橢圓長半軸為a＝R，

將點（1，）代入橢圓方程中，解得b＝1，

∴橢圓E的方程為；

（2）設點N（x0，y0）（y0＜1），則點M（x0，y1）（y1＜0），將兩點坐標分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得，

x02+y02＝2，，故y02＝2y12，即y0y1，

又S△OMNx0（y1﹣y0），則x0y1，

將x0y1與聯立可解得或，

∴下輔助點N的坐標為（，）或（，）；

（3）由題意可設A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯立整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，則△＝8（m2+2﹣t2）＞0.

根據韋達定理得，

因為.

所以，

因為點P在橢圓E上，

所以，

整理得，

即4t2＝m2+2，

在直線l：x﹣my﹣t＝0中，

由于直線l與坐標軸圍成三角形，則t≠0，m≠0.

令x＝0，得，令y＝0，得x＝t.

所以三角形面積為,

當且僅當m2＝2，t2＝1時，取等號，此時△＝24＞0.

所以直線l與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為.