Question

設a₁，a₂，…，a₂₀₁₀都為正數，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=1，則

a 2 1

2+a1

+

a 2 2

2+a2

+…+

a 2 2010

2+a2010

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用題中條件：“a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=1”構造柯西不等式：(

a 2 1

2+a1

+

a 2 2

2+a2

+…+

a 2 2010

2+a2010

)[(

2+a1

)2+(

2+a2

)2+…+(

2+a2010

)2]
≥（a₁+a₂+…+a₂₀₁₀）²這個條件進行計算最小值即可．

解答：解：由柯西不等式，得
(

a 2 1

2+a1

+

a 2 2

2+a2

+…+

a 2 2010

2+a2010

)[(

2+a1

)2+(

2+a2

)2+…+(

2+a2010

)2]
≥（a₁+a₂+…+a₂₀₁₀）²=1，
所以

a 2 1

2+a1

+

a 2 2

2+a2

+…+

a 2 2010

2+a2010

≥

1

4021

．
故最小值是

1

4021

．
故答案為：

1

4021

．

點評：本題考查用綜合法證明不等式、柯西不等式在函數極值中的應用，屬于基礎題．