Question

如圖，在三棱錐中，底面，，為的中點， 為的中點，，.

（1）求證：平面；
（2）求與平面成角的正弦值；
（3）設點在線段上，且，平面，求實數的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）求證：平面，證明線面垂直，先證線線垂直，即證線和平面內兩條相交直線垂直，注意到為的中點，且，則，再找一條直線與垂直即可，由已知底面，既得，可證平面，即可，由已知，這樣平面，從而，問題得證．（2）求與平面成角的正弦值，求線面角，即求線和射影所成的角，本題找射影相對困難，可用向量法，首先建立空間坐標系，先找三條兩兩垂直的直線作為坐標軸，在平面中，過點作因為 平面，所以 平面，由 底面，得，，兩兩垂直，這樣以為原點，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出平面的一個法向量，利用線面角的正弦值等于線和法向量的夾角的余弦值即可求出與平面成角的正弦值；（3）求實數的值，由于點在線段上，且平面，由，求出的坐標，再求出平面的一個法向量，利用線面平行，既線和法向量垂直，即線對應的向量和法向量數量積等于零，即可求出的值．
（1）因為 底面，底面，所以 ，      1分
又因為 ， ， 所以 平面，             2分
又因為 平面，所以 .                3分
因為 是中點，
所以 ，又因為 ，所以 平面.             5分
（2）在平面中，過點作因為 平面，所以 平面，
由 底面，得，，兩兩垂直，
所以以為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸如圖建立空間直角坐標系，                                                
則，，，，，.  6分
設平面的法向量為，因為 ，，由  得 ，令，得.            8分

設與平面成角為，因為 ，
所以 ，
即 .        10分
（3）因為 ，，所以 ，
又因為 ，所以 .        12分
因為 平面，平面的法向量，所以 ，
解得 .         14分