Question

已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點P（

3

2

，

6

），求拋物線方程和雙曲線方程．

Answer 1

分析：首先根據拋物線的準線過雙曲線的焦點，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過P（

3

2

，

6

），求出c、p的值，進而結合雙曲線的性質a²+b²=c²，求解即可．

解答：解：設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵點（

3

2

，

6

）在拋物線上，∴6=2p•

3

2

，∴p=2，
∴所求拋物線方程為y²=4x．
∵雙曲線左焦點在拋物線的準線x=-1上，
∴c=1，即a²+b²=1，又點（

3

2

，

6

）在雙曲線上，

( 3 2 )2 a2 - 6 2 b2 =1 a2+b2=1

，解得

a2= 1 4 b2= 3 4

∴所求雙曲線方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1，即4x2-

4y2

3

=1

點評：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數法，熟練掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．