Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為

π

4

，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間[t，3]上總存在極值？
（Ⅲ）當a=2時，設函數h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在區間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，試求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）對a分類討論，由f′（x）＞0時，得到函數的遞增區間；令f′（x）＜0時，得到函數的遞減區間；
（Ⅱ）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化簡，求出導函數，因為函數在[t，3]上總存在極值得到 g′（t）＜0，g′（3）＞0 解出m的范圍記即可；
（Ⅲ）F（x由題意構建新函數F（x））=f（x）-g（x），這樣問題轉化為使函數F（x）在[1，e]上至少有一解的判斷．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

a

x

-a=a（

1-x

x

）（x＞0），
∴（1）當a＞0時，令f′（x）＞0時，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）遞增；
令f′（x）＜0時，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）遞減．
當a＜0時，f′（x）=-a（

x-1

x

），令f′（x）＞0時，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）遞增；
令f′（x）＜0時，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）遞減；
（Ⅱ）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′（x）=-

2

x

+2，
g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]=x³+x²[

m

2

+2-

2

x

]=x³+（2+

m

2

）•x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
因為對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區間[t，3]上總存在極值，
所以只需 g′（2）＜0 g′（3）＞0，解得-

37

3

＜m＜-9；
（Ⅲ）∴令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3-2lnx+2x+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx，
①當p≤0時，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②當p＞0時，F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調遞增．
∴F（x）max=F（e）=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．所以p的取值范圍是[

4e

e2-1

，+∞）．

點評：（Ⅰ）考查學生利用導數研究函數單調性的能力，（Ⅱ）利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，會根據直線的傾斜角求直線的斜率，（III）此處重點考查了等價轉化的思想，把問題轉化為構建一新函數，并考查了函數F（x）在定義域下恒成立問題數式中含字母系數，需分類討論，屬于難題．