Question

已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1，0＜b＜1），
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a、b滿足什么條件時f（x）恰在（1，+∞）取正值．（理：此函數(shù)的圖象上是否存在兩點，過這兩點的直線平行于x軸？）

Answer 1

分析：（1）要使f（x）=lg（a^x-b^x）有意義，只需a^x-b^x＞0，即(

a

b

)x＞1，結(jié)合a、b的范圍可求出x的取值范圍，從而得到函數(shù)的定義域；
（2）任取x₂＞x₁＞0，然后計算f(x2)-f(x1)=lg

ax2-bx2

ax1-bx1

，通過化簡變形，整理可判定符號，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（3）根據(jù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，則命題f（x）恰在（1，+∞）取正值等價于f（1）=0可得a、b滿足的條件．（從而不存在所述兩點）．

解答：解：（1）∵ax-bx＞0⇒ax＞bx(＞0)⇒(

a

b

)x＞1，
又∵

a＞1 0＜b＜1

⇒

a

b

＞1，
∴x＞0，
故函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
（2）任取x₂＞x₁＞0，則f(x2)-f(x1)=lg

ax2-bx2

ax1-bx1

，
∴

a＞1 0＜b＜1

⇒

ax2＞ax1 bx2＜bx1

⇒ax2-bx2＞ax1-bx1＞0⇒

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），即f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（3）∵f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴命題f（x）恰在（1，+∞）取正值等價于：f（1）=0，
∴a-b=1
（由于函數(shù)是一個嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，故函數(shù)圖象上不存在兩點使得過此兩點的直線與X軸平行）

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定和應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．