Question

（2012•河南模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=1，PA=2．
（Ⅰ）證明：直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐E-PAC的體積．

Answer 1

分析：（1）取AD中點F，連接EF、CF，利用三角形中位線，得出EF∥PA，從而EF∥平面PAB．在平面四邊形ABCD中，通過內錯角相等，證出CF∥AB，從而CF∥平面PAB．最后結合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD且AC⊥CD，證出CD⊥平面PAC，從而平面DPC⊥平面PAC．過E點作EH⊥PC于H，由面面垂直的性質定理，得EH⊥平面PAC，因此EH∥CD，得EH是△PCD的中位線，從而得到EH=

1

2

CD=

3

，最后求出Rt△PAC的面積，根據錐體體積公式算出三棱錐E-PAC的體積．

解答：解：（1）取AD中點F，連接EF、CF
∴△PAD中，EF是中位線，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC=

AB

cos60°

=2
又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴AD=4，結合F為AD中點，得△ACF是等邊三角形
∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB⊆平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF內的相交直線，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC內的相交直線
∴CD⊥平面PAC
∵CD⊆平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC
過E點作EH⊥PC于H，由面面垂直的性質定理，得EH⊥平面PAC
∴EH∥CD
Rt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD=

AD2-AC2

=2

3

∵E是CD中點，EH∥CD，∴EH=

1

2

CD=

3

∵PA⊥AC，∴S_Rt△PAC=

1

2

×2×2=2
因此，三棱錐E-PAC的體積V=

1

3

S_△PAC×EH=

2 3

3

點評：本題給出特殊的四棱錐，求證線面平行并求三棱錐的體積，著重考查了空間直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．