Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x₁，x₂∈[0，]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），
（Ⅰ）設(shè)f（1）=2，求；
（Ⅱ）證明f（x）是周期函數(shù)。

Answer 1

（Ⅰ）解：由知，
∵，f（1）=2，
∴，
∵，，
∴。
（Ⅱ）證明：依題設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1-x)，
即f(x)=f(2-x)，x∈R，
又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x)，x∈R，
∴f(-x)=f(2-x)，x∈R，
將上式中-x以x代換，得f(x)=f(x+2)，x∈R，
這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期。