Question

（2013•嘉定區二模）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊a，b，c成等比數列．
（1）求證：0＜B≤

π

3

；
（2）求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范圍，即可求得B的范圍．
（2）根據三角恒等變換化簡y的解析式，再根據正弦函數的定義域和值域，求得y的范圍．

解答：解：（1）由已知，b²=ac，所以由余弦定理，
得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

由基本不等式a²+c²≥2ac，得cosB≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
所以cosB∈[

1

2

 ， 1)．因此，0＜B≤

π

3

．
（2）y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，
由（1），0＜B≤

π

3

，所以

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，所以sin(B+

π

4

)∈(

2

2

 ， 1]，
所以，y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范圍是(1 ， 

2

]．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．