Question

（2012•大豐市一模）已知：如圖，M是線段BC的中點，BC=4，分別以MB、MC為邊在線段BC的同側作等邊△BAM、等邊△MCD，連接AD．
（1）求證：四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）將△MDC繞點M逆時針方向旋轉α（60°＜α＜120°），得到△MD′C′，MD′交AB于點E，MC′交AD于點F，連接EF．
①求證：EF∥D′C′；
②△AEF的周長是否存在最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）可求出∠AMD=60°，MA=MD，繼而得出△AMD是等邊三角形，根據∠ADM=∠DMC=60°，可判斷AD∥BC，從而可得出結論；
（2）先證△MDF全等于△MAE，可得△MEF為等邊三角形，即得EF∥D?C?；
（3）由①可得AE+AF=AB，為定值，只需滿足EF最小即可，由①可得△MEF為等邊三角形，EF=ME，故只需ME最小即可，顯然當ME⊥AB的時候ME最小．

解答：證明：（1）∵M是線段BC的中點，
∴BM=MC，
又∵△BAM、△MCD是等邊三角形，
∴∠AMB=∠DMC=60°，MA=MD，
∴△MAD為等邊三角形，
∴∠ADM=∠DMC=60°，
∴AD∥BC，
又∵AB=BM=MC=DC，
∴四邊形ABCD為等腰梯形． 
（2）①∵∠DMF+∠AMF=60°，∠AME+∠AMF=60°，
∴∠AME=∠DMF，
∵在△MAE和△MDF中，

∠AME=∠DMF ∠EAM=∠FDM MA=MD

，
∴△MAE≌△MDF（AAS），
∴ME=MF，
∴∠EMF=∠AMF+∠AME=∠AMF+∠DMF=∠AMD=60°，
∴△MEF為等邊三角形，
∴∠FEM=∠C'D'M=60°，
∴EF∥D′C′．
解：②存在最小值．
由①得，AE+AF=AB，為定值，只需滿足EF最小即可，
由①得，△MEF是等邊三角形，EF=ME，只需滿足ME最小即可，
顯然當ME⊥AB時取得最小，
由等邊三角形的性質可得：此時ME=2

3

，
故△AEF的周長最小值等于2+

3

點評：本題考查了四邊形綜合題，涉及了全等三角形的判定與性質、旋轉的性質及等腰梯形的判定，解答本題要求我們熟練掌握各個知識點，并能將所學知識融會貫通．