Question

已知a₁=2，點(a_n,a_n+1)在函數f(x)=x²+2x的圖象上，其中=1，2，3，…

（1）  證明數列｛lg(1+a_n)｝是等比數列；

（2）  設T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及數列｛a_n｝的通項；

（3）  記b_n=，求｛b_n｝數列的前項和S_n，并證明S_n+=1.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，

              ∴

             

              ∴，兩邊取對數得

，

即

∴是公比為2的等比數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

              ∴                   （*）

              ∴

                     

                                   

              由（*）式得

（Ⅲ）

                ∴∴

                ∴

                ∴

又

∴

∴

              

，

∴

又

∴.