Question

已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

，（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷并用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

2x-1

2x+1

的解析式，易判斷其定義域為R，進而判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，可得答案．
（2）任取R上兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁），f（x₂）的大小，進而根據函數單調性的定義得到答案．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

2x-1

2x+1

的定義域為R，
且f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x）
∴函數f(x)=

2x-1

2x+1

為奇函數
（2）任取（-∞，+∞）上兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)•(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數；

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，熟練掌握函數奇偶性的證明步驟及單調性證明的方法和步驟是解答本題的關鍵．