Question

1．設函數${f_0}（x）={（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}$，${f_1}（x）=|{{f_0}（x）-\frac{1}{2}}|$，${f_n}（x）=|{{f_{n-1}}（x）-{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}|$，則方程${f_n}（x）={（{\frac{1}{n+2}}）^n}$有2ⁿ⁺¹個實數根．

Answer 1

分析 分別n=1，2，3，再歸納法即可求出答案．

解答 解：當n=1時，f₁（x）=|（$\frac{1}{2}$）^|x|-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{3}$，即當-1≤x≤1時，（$\frac{1}{2}$）^|x|=$\frac{5}{6}$，或x＜-1或x＞1時，（$\frac{1}{2}$）^|x|=$\frac{1}{6}$，此時方程有2²個解，
當n=2時，f₂（x）=|f₁（x）-$\frac{1}{4}$|=$\frac{1}{16}$，即f₁（x）=$\frac{5}{16}$，f₁（x）=$\frac{3}{16}$，此時方程有2³個解，
當n=3時，f₃（x）=|f₂（x）-$\frac{1}{8}$|=$\frac{1}{125}$，即f₂（x）=$\frac{133}{1000}$，f₂（x）=$\frac{117}{1000}$，此時方程有2⁴個解，
依此類推，方程${f_n}（x）={（{\frac{1}{n+2}}）^n}$有2ⁿ⁺¹個解．
故答案為：2ⁿ⁺¹

點評 本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，屬于中檔題．