Question

已知a＞2，b＞1，且滿足ab=a+2b+1，則2a+b的最小值為

2

6

+5

．

Answer 1

分析：根據ab=a+2b+1可將a用b表示，然后消去2a+b中的a，根據b的范圍利用基本不等式求出最值即可，注意等號成立的條件．

解答：解：∵ab=a+2b+1，
∴a=

2b+1

b-1

=2+

3

b-1

，
∴2a+b=4+

6

b-1

+b=（b-1）+

6

b-1

+5，
∵b＞1，
∴b-1＞0，則（b-1）+

6

b-1

≥2

6

，當且僅當b-1=

6

時取等號，
∴2a+b=（b-1）+

6

b-1

+5≥2

6

+5．
∴2a+b的最小值為2

6

+5．
故答案為：2

6

+5．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，解題時需注意等號成立的條件，同時考查了消元法的思想，屬于中檔題．