Question

如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點(diǎn)B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點(diǎn),且

（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn), 軸,H為垂足,延長HP到點(diǎn)Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點(diǎn),為的中點(diǎn)，判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。

Answer 1

（1）；（2）直線與以為直徑的圓O相切.

試題分析：本體主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設(shè)出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入到已知中列出表達(dá)式解出和的值，所以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到，所以可以得到直線的方程，同理得直線的方程，由直線的方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而得斜率，利用橢圓方程化簡，從而得到直線的方程，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系.
試題解析：（1）可知，，，，
，
,
得
橢圓方程為
（2）設(shè)則
由得，
所以直線AQ的方程為，
由得直線的方程為

由，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031549686667.png" style="vertical-align:middle;" />
所以

所以直線NQ的方程為
化簡整理得到，
所以點(diǎn)O直線NQ的距離=圓O的半徑，
直線與以為直徑的圓O相切.