Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1，則n≥2時，數列{a_n}的通項a_n=（　　）

• A．

  n!

  2

• B．

  (n+1)!

  2

• C．n!
• D．（n+1）!

Answer 1

分析：由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），得na_n+a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n（n≥2），整理可得

an+1

an

=n+1（n≥2），累乘即可得到答案，注意n的范圍．

解答：解：由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），得
na_n+a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n（n≥2），
∴（n+1）•a_n=a_n+1（n≥2），則

an+1

an

=n+1（n≥2），
又a₁=1，∴a₂=1，
∴

a3

a2

=3，

a4

a3

=4，…，

an

an-1

=n．
累積得a_n=

n!

2

（n≥2），
故選A．

點評：本題考查由數列遞推式求數列的通項，累乘法是求數列通項公式的常用方法，要準確把握其解決方法及使用條件．