Question

已知橢圓和圓：，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A,B．

（1）（ⅰ）若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e的值；
（ⅱ）若橢圓上存在點P，使得，求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，問當點P在橢圓上運動時，是否為定值？請證明你的結論．

Answer 1

（1），
（2）為定值，定值是. 

試題分析：解：（1）（ⅰ）∵ 圓過橢圓的焦點，圓： ，∴ ，
∴ ， ，
∴  ．  4分
（ⅱ）由及圓的性質，可得
，∴
∴
∴， ．      8分                 
（2）
設，則
, 整理得
 ∴方程為：，             10分
方程為：．
從而直線AB的方程為：．                      12分
令，得，令，得，
∴，
∴為定值，定值是.                      16
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。