Question

已知動點C到點A(－1,0)的距離是它到點B(1,0)的距離的倍.

(1)試求點C的軌跡方程；

(2)已知直線l經過點P(0,1)且與點C的軌跡相切，試求直線l的方程.

Answer 1

1)設點C(x，y)，則|CA|＝，|CB|＝.

由題意，得＝×.

兩邊平方，得(x＋1)²＋y²＝2×[(x－1)²＋y²].

整理，得(x－3)²＋y²＝8.

故點C的軌跡是一個圓，其方程為(x－3)²＋y²＝8.

(2)由(1)，得圓心為M(3,0)，半徑r＝2.

①若直線l的斜率不存在，則方程為x＝0，圓心到直線的距離d＝3≠2，故該直線與圓不相切；

②若直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y＝kx＋1.

由直線和圓相切，得d＝＝2，整理，得k²＋6k－7＝0，解得k＝1，或k＝－7.故所求直線的方程為y＝x＋1，或y＝－7x＋1，即x－y＋1＝0或7x＋y－1＝0.