Question

（2012年高考（江蘇））已知各項均為正數的兩個數列和滿足:,,

(1)設,,求證:數列是等差數列;

(2)設,,且是等比數列,求和的值.

Answer 1

【答案】解:(1)∵,∴.

∴ .∴   .

∴數列是以1 為公差的等差數列.

(2)∵,∴.

∴.(﹡)

設等比數列的公比為,由知,下面用反證法證明

若則,∴當時,,與(﹡)矛盾.

若則,∴當時,,與(﹡)矛盾.

∴綜上所述,.∴,∴.

又∵,∴是公比是的等比數列.

若,則,于是.

又由即,得.

∴中至少有兩項相同,與矛盾.∴.

∴.

∴ .

【考點】等差數列和等比數列的基本性質,基本不等式,反證法.

【解析】(1)根據題設和,求出,從而證明而得證.

(2)根據基本不等式得到,用反證法證明等比數列的公比.

從而得到的結論,再由知是公比是的等比數列.最后用反證法求出.