Question

數軸上有一列點，已知當n≥2時，點是把線段等分的分點中最靠近的點，設線段的長度分別為，其中．
（Ⅰ）寫出的表達式；
（Ⅱ）證明；
（Ⅲ）設點，在這些點中是否存在兩個點同時在函數的圖象上，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意當n≥2時，P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，結合已知可得a_n與a_n-1的遞推公式，結合，代入即可求解
（Ⅱ）由（I）可知，，利用放縮法，結合等比數列的求和公式可證
（Ⅲ）先假設存在兩個點都在函數的圖象上，把點的 坐標代入可得，然后進行推理，即可判斷
解答：解：（Ⅰ）依題意當n≥2時，有，
∵，
∴，，
故．
（Ⅱ）證明：因為當n≥2時，，
∴
故，
而顯然成立，
故；
（Ⅲ）證明：假設存在兩個點（其中p≠q，p，q∈N^*，p＞2，q＞2）都在函數的圖象上，
∴，
即，
，
∴，
∴不成立，故不存在滿足題設條件的兩個點．
點評：本題綜合考查了數列的遞推公式的應用，不等式的放縮法在證明不等式中的應用，等比數列 的求和公式的應用及存在性問題的求解