Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1 ， 設AB1的中點為D，B1C∩BC1=E．

求證：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：根據題意，得；

E為B1C的中點，D為AB1的中點，所以DE∥AC；

又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C；

（2）證明：因為棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，

因為AC平面ABC，

所以AC⊥CC1；

又因為AC⊥BC，

CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，

BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1；

又因為BC1平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC；

因為BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

所以BC1⊥平面B1AC；

又因為AB1平面B1AC，

所以BC1⊥AB1．

【解析】（1）根據中位線定理得DE∥AC，即證DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即證AC⊥CC1；再證明AC⊥平面BCC1B1 ， 即證BC1⊥AC；最后證明BC1⊥平面B1AC，即可證出BC1⊥AB1 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的性質的理解，了解垂直于同一個平面的兩條直線平行．