Question

( 12分)已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²的圖象經(jīng)過點M(1,4)，曲線在點M處的切線恰好與直線x＋9y＝0垂直。

(1)求實數(shù)a、b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）a＝1，b＝3

(2)m≥0或m≤－3

【解析】　(1)∵f(x)＝ax³＋bx²的圖象經(jīng)過點M(1,4)，

∴a＋b＝4.①

f′(x)＝3ax²＋2bx，則f′(1)＝3a＋2b，

由條件f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9，②

由①②式解得a＝1，b＝3.

(2)f(x)＝x³＋3x²，f′(x)＝3x²＋6x，令f′(x)＝3x²＋6x≥0得x≥0或x≤－2，

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2]和[0，＋∞)由條件知m≥0或m＋1≤－2，

∴m≥0或m≤－3.