Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知直線l₁：y=kx+b（b＞0）交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交拋物線于點N．是否存在實數k，使點N在以AB為直徑的圓上？若存在，求出k的所有的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設拋物線C的方程是x²=ay，
則=1，即a=4．
故所求拋物線C的方程為x²=4y． （5分）
（Ⅱ）將y=kx+b代入x²=4y得 x²-4kx-4b=0，
設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則x_A+x_B=4k，x_Ax_B=-4b，（7分）
x_N=x_M==2k，代入x²=4y得y_N=k²，所以N（2k，k²），
∵N在以AB為直徑的圓上，=（x_A-2k，y_A-k²），=（x_B-2k，y_B-k²），
∴=0；
∴（x_A-2k）（x_B-2k）+（y_A-k²）（y_B-k²）=0，（10分）
即（x_A-2k）（x_B-2k）+（-k²）（-k²）=0，
即（x_A-2k）（x_B-2k）[1+（x_A+2k）（x_B+2k）]=0，
∵（x_A-2k）（x_B-2k）=x_Ax_B-2k（x_A+x_B）+4k²=-4b-4k²=-4（b+k²），
由于b＞0，
∴（x_A-2k）（x_B-2k）=-4（b+k²）＜0，
∴1+（x_A+2k）（x_B+2k）=+++1=0，
即：3k²+（4-b）=0…（13分）
所以，當b≥4時，存在實數k=±；當b＜4時，不存在實數k． （15分）
分析：（Ⅰ）設拋物線C的方程是x²=ay，根據焦點為F的坐標求得a，進而可得拋物線的方程；
（Ⅱ）將y=kx+b與x²=4y聯立，設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），利用韋達定理得到x_A+x_B=4k，x_Ax_B=-4b，結合題意可求
N（2k，k²），N在以AB為直徑的圓上?=0，最后可得到3k²+（4-b）=0，對b討論即可．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程以及拋物線與直線的關系，著重考查拋物線與直線方程的聯立，韋達定理的使用，難點在于梳理點A、B、M、N坐標間的關系并合理應用，突出化歸思想、方程思想、分類討論思想的運用，是難題．