Question

函數，a＞0，f'（1）=0．
（1）①試用含有a的式子表示b；②求f（x）的單調區間；
（2）對于函數圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點P處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問：在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A、B，使得AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）①
∵f'（1）=0，∴b=a-1．（2分）
②
∵x＞0，a＞0
∴當x＞1時f'（x）＞0，當0＜x＜1時，f'（x）＜0
∴f（x）增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）（6分）
（2）不存在 （7分） （反證法）
若存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設0＜x₁＜x₂，
則曲線y=f（x）在的切線斜率
又
∴由k=k_AB得①（11分）
令，則①化為②
令（t＞1）
∵
∴g（t）在（1，+∞）為增函數 （15分）
又t＞1∴g（t）＞g（1）=2此與②矛盾，
∴不存在 （16分）
分析：（1）①先求導函數，再利用f'（1）=0，可用含有a的式子表示b；②求導函數，再利用導數大于0的函數的單調增區間，導數小于0得函數的單調減區間；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結合導數工具，求出g（t）在（1，+∞）上單調遞增，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的單調性，考查存在性問題，關鍵是對新定義的理解．