Question

設定點M（-3，4），動點N在圓x²+y²=4上運動，以OM、ON為鄰邊作平行四邊形MONP，則點P的軌跡方程為

（x+3）²+（y-4）²=4（點（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）

．

Answer 1

分析：設P（x，y）、N（x₀，y₀），根據中點坐標公式算出OP、MN中點坐標關于x、y和x₀、y₀的式子，根據平行四邊形對角線互相平分建立關系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后將點N坐標關于x、y的式子代入已知條件的圓方程，化簡即得所求點P的軌跡方程．最后檢驗去除雜點，可得答案．

解答：解：設P（x，y），圓上的動點N（x₀，y₀），則
線段OP的中點坐標為（

x

2

，

y

2

），線段MN的中點坐標為（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四邊形的對角線互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

可得

x0=x+3 y0=y-4

，
∵N（x₀，y₀），即N（x+3，y-4）在圓上，
∴N點坐標應滿足圓的方程，代入化簡可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直線OM與軌跡相交于兩點（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合題意，舍去
故答案為：（x+3）²+（y-4）²=4（點（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程．著重考查了直線與圓的位置關系、圓的方程和動點軌跡求法等知識，屬于中檔題．