Question

設(shè)函數(shù)其中

（１）若=0，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)表示與兩個數(shù)中的最大值，求證：當(dāng)0≤x≤1時，||≤．

 

Answer 1

【答案】

（1），函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，)及(1，+∞) ．單調(diào)減區(qū)間是

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，然后來證明結(jié)論。

【解析】

試題分析：解：(1)由=0，得a=b．

當(dāng)時，則，不具備單調(diào)性   ..2分

故f(x)= ax³－2ax²+ax+c．

由=a(3x²－4x+1)=0，得x₁=，x₂=1．  3分

列表：

x	(-∞，)		(，1)	1	(1，+∞)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	極大值	減	極小值	增

由表可得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，)及(1，+∞) ．單調(diào)減區(qū)間是…5分

（2）當(dāng)時，=

若　，

若，或，在是單調(diào)函數(shù)，≤≤，或

≤≤   7分

所以，≤

當(dāng)時，=3ax²-2(a+b)x+b=3．

①當(dāng)時，則在上是單調(diào)函數(shù)，

所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．

所以．    9分

②當(dāng)，即-a＜b＜2a，則≤≤．

(i) 當(dāng)-a＜b≤時，則0＜a+b≤．

所以 ＝＝≥＞0．

所以 ．    11分

(ii) 當(dāng)＜b＜2a時，則＜0，即a²+b²－＜0．

所以=＞＞0，即＞．

所以 ．    13分

綜上所述：當(dāng)0≤x≤1時，||≤．   14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：主要是對于導(dǎo)數(shù)再研究函數(shù)中的運(yùn)用，通過判定單調(diào)性，極值來得到最值，進(jìn)而求解，屬于中檔題。