Question

12.將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為

（A）    （B）2+  

 （C）    （D）

Answer 1

C

解析：當4個鋼球彼此相切、且與正四面體的容器的各面均相切時，正四面體的高取最小值.

底面球心R₁在底面上的投影為R₁′，過R₁′作GE∥CD交BC、BO于點E、G.在AB上截取BF=BE=BG.得小正四面體B—EFG.R₁′是G上的中點，R₁B垂直底面EFG，R₁′H=BR₁′，

在Rt△BHR₁′中，R₁′H=BH.==，

∴BR₁′=2R₁′R=2.

在底面BCD中，球心R₁R₂R₃投影如上圖，據正四面體及球心對稱性知∠MBR₁′=30°，

BM=BR₁′=·2=.

大正四面體的邊長為2+2.

斜高h′=BC=3+，

高h==h′=4+ .