Question

【題目】如圖，橢圓C1： +y2=1，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長．

（1）求實數b的值；
（2）設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A、B，直線MA、MB分別與C1相交于D、E．
①證明： =0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S1 ， S2 ． 若 =λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：半長軸為2，則有2 =2

∴b=1

（2）解：①證明：由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線的方程為y=kx．

與拋物線方程聯立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…

又點M的坐標為（0，﹣1），所以kMAkMB= × = =﹣1

故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

②設直線的斜率為k1，則直線的方程為y=k1x﹣1，代入拋物線方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，則點A的坐標為（k1， ）

同理可得點B的坐標為 ．

于是 = =

直線的方程為y=k1x﹣1，代入橢圓方程，消去y，可得（ ）x2﹣8k1x=0，解得x=0或x= ，則點D的坐標為 ；

同理可得點E的坐標

于是S2= =

因此 ，

又由點A，B的坐標可知，k= = ，平方后代入上式，

所以λ=

故λ的取值范圍為[ ）

【解析】（1）確定半長軸為2，利用x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長，可求b的值；（2）①設直線的方程與拋物線方程聯立，利用點M的坐標為（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，從而得證；②設直線的斜率為k1 ， 則直線的方程為y=k1x﹣1，代入拋物線方程可得x2=k1x，從而可得點A的坐標、點B的坐標，進而可得S1 ， 同理可得S2 ， 進而可得比值，由可得λ的取值范圍．