Question

已知直線方程為（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）若直線不經過第一象限，求m的范圍；
（Ⅱ）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） （法一）1-2m=0，即m=時，x=1，不過第一象限，故m=.1-2m≠0，即m≠時，y=，由此能求出m的范圍．
（法二）（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化為（x-2y-3）m=-2x-y-4．由得 ，直線必過定點（-1，-2）．由此能求出m的范圍．
（Ⅱ）設直線的斜率為k（k＜0），則其方程為y+2=k（x+1），故OA=|-1|，OB=|k-2|，…（8分）S_△AOB=•OA•OB=|（-1）（k-2）|=|-|，由此能求出△AOB面積的最小值和此時直線的方程．
解答：解：（Ⅰ） （法一）①1-2m=0，即m=時，x=1，不過第一象限，∴m=．
②1-2m≠0，即m≠時，
y=，
∴，
∴，
∴-．
（法二）解：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化為（x-2y-3）m=-2x-y-4．…（3分）
由得 ，
∴直線必過定點（-1，-2）．                  …（6分）
∴1-2m=0或者，
∴-．
（Ⅱ）解：設直線的斜率為k（k＜0），則其方程為y+2=k（x+1），
∴OA=|-1|，OB=|k-2|，…（8分）
S_△AOB=•OA•OB=|（-1）（k-2）|=|-|..…（10分）
∵k＜0，∴-k＞0，
∴S_△AOB=[-]=[4+（-）+（-k）]≥4．
當且僅當-=-k，即k=-2時取等號．…（13分）
∴△AOB的面積最小值是4，…（14分）
直線的方程為y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．
點評：本題考查考查實數取值范圍的求法，考查三角形面積最小值的求法和直線方程的求法．解題時要認真審題，注意直線方程知識的靈活運用．